Une étude, dont les résultats intitulés «Can the original equations of a dynamical system be retrieved from observational time series?» sont publiés dans la revue Chaos, a permis de démontrer qu’il était possible, pour au moins 28 cas théoriques, de remonter aux équations originales de la dynamique directement à partir de séries temporelles observées.

Rappelons tout d'abord que «dans le passé, la démarche pour obtenir les équations qui décrivent des processus dynamiques se faisait par un va-et-vient entre observation et théorie, les observations servant de base pour construire notre représentation théorique du monde, puis d’élément de validation ou d’invalidation».

Cependant, «autour des années 1980», a émergé, «dans les domaines de l’ingénierie électrique et des statistiques», l’idée «d’obtenir des équations directement à partir de séries temporelles d’observations». Si les premiers développements étaient «essentiellement linéaires et donc peu adaptés aux phénomènes réels», «au cours des années 1990» «les premiers modèles ont pu être obtenus pour des dynamiques non linéaires, et ce pour des cas théoriques et expérimentaux».

Bien que «ces premiers modèles, reconstruits automatiquement à partir de séries temporelles, permettaient de reproduire la dynamique originale de façon très satisfaisante», pour des raisons d’équifinalité (*), «les équations obtenues n’étaient pas nécessairement celles des systèmes originaux».

Par la suite, en 2015, un modèle inattendu «à 3 équations a pu être obtenu pour décrire la dynamique de l’épidémie de peste qui a sévi à Bombay (aujourd’hui Mumbai) au début du XX^e siècle»: il était inattendu, «car permettant de formaliser mathématiquement, directement à partir d’observations, le couplage dynamique entre le nombre de décès humains et le nombre de cas d’infection de deux groupes de rongeurs (rats noirs et rats bruns)» avec «une formulation très différente de celles des modèles communément utilisés en épidémiologie». Comme «une interprétation éco-épidémiologique de chacun des termes de ce modèle» a pu aussi être proposée, ce modèle a laissé «entrevoir l’idée que les équations responsables de la dynamique d’un système peuvent être directement extraites de données observationnelles».

Dans ce contexte, l'étude ici présentée est le fruit d'un ensemble d’expérimentations numériques mis en place «pour tester la possibilité de remonter aux équations originales en partant de séries temporelles issues de l’intégration numérique d’équations aux dérivées ordinaires». Pour cela, il a été fait appel à «l'algorithme GPoM (Generalized polynomial modelling) qui avait été utilisé pour obtenir le modèle éco-épidémiologique de peste évoqué ci-dessus» en «suivant la même procédure de recherche de modèle».

Notons que cet algorithme, qui «s’appuie sur la technique de modélisation globale initiée au cours des années 1990», vise «à obtenir des équations aux dérivées ordinaires polynomiales directement à partir de séries observationnelles». Alors qu'initialement, «cette technique était destinée à être appliquée à une variable unique», l'algorithme GPoM utilisé dans cette étude, qui «s’appuie sur le même formalisme théorique», a été modifié et généralisé pour travailler pour fonctionner avec plusieurs variables.

La première série d’expérimentations numériques a été conduite pour tester «le potentiel de l’approche sur un système particulier, le système chaotique de Rössler-1976» (**), qui «a été choisi pour sa capacité à générer une certaine complexité dynamique à partir d’une formulation très simple (trois variables et une seule non-linéarité pouvant donner lieu à une trajectoire imprévisible à long terme)».

Cette approche «a également été testée en situations dégradées, en modifiant la longueur des séries temporelles, leur échantillonnage, les conditions initiales, le régime dynamique (notamment périodique ou chaotique), ou encore en bruitant les observations et en perturbant le système». Au bout du compte, «ces expérimentations ont prouvé la possibilité de retrouver les équations originales de ce système particulier».

Puis, une deuxième série d’expérimentations a «été menée pour explorer la généralité du résultat en appliquant le même outil sur de nombreux systèmes dynamiques». Concrètement, «vingt-sept autres systèmes ont été testés, toujours de petite dimension (jusqu’à cinq variables), mais tous non triviaux et très diversifiés dans leurs propriétés dynamiques, géométriques, algébriques, statistiques et topologiques».

Plus précisément, «ces systèmes incluaient des modèles de convection, de climat, de particules dans une boîte, de croissance tumorale, de dynamo terrestre, d’oscillateurs couplés, de dynamique de population, ainsi que de nombreux cas purement mathématiques». En outre, «l’algorithme de modélisation étant polynomial, quatre systèmes non polynomiaux ont également été inclus dans cet ensemble afin d’identifier les risques de mésinterprétation».

Finalement, cette seconde série d’analyses a «permis de montrer la puissance de l’outil, la plupart des équations originales étant retrouvées, souvent complètes, parfois partielles, selon la concision des systèmes considérés (nombre de termes), et généralement sans détections erronées». Plus particulièrement, «les résultats des tests appliqués aux systèmes non polynomiaux les plus complexes n’ont pas été faussement associés à des modèles polynomiaux (toutes les équations ayant été rejetées) tandis que les formulations obtenues pour les systèmes non polynomiaux moins complexes correspondaient elles à une approximation formelle en séries de Taylor». Globalement, «les résultats se sont avérés robustes au bruit, le niveau de tolérance pouvant toutefois varier fortement d’un système à l’autre».

En conséquence, cette étude renforce l’idée qu’il est possible de remonter aux équations originales d’un système «lorsque celui-ci est polynomial et suffisamment concis (dans le meilleur des cas, jusqu’à 9 termes pour une reformulation complète)», et aussi lorsqu’une «formulation approchée peut également être obtenue lorsque les équations originales sont proches d’une formulation polynomiale».

Il en résulte que, «en gardant en tête le potentiel de l’approche à obtenir une formulation concise des équations», il est «envisageable de proposer une interprétation contextuelle (biologique, physique, chimique, épidémiologique, etc.) pour les termes des modèles obtenus avec cet outil».

Lien externe complémentaire (source Wikipedia)

(*) Équifinalité

(**) Attracteur de Rössler