Une étude, dont les résultats sont consultables sur arxiv.org, suggère que les équations de Navier-Stokes n’auraient pas toujours de solutions régulières.

Dans un cadre général, on ne sait pas résoudre les équations de Navier-Stokes qui décrivent «les écoulements de liquides ou de gaz, tels les mouvements de l'atmosphère, les courants océaniques ou les turbulences autour des ailes d'un avion»: il faut donc «souvent se contenter de solutions approchées, calculées par des méthodes numériques».

De plus, «même dans des situations simples, les mathématiciens ne savent pas s’il existe toujours une solution régulière, c’est-à-dire sans que l'une des grandeurs, telles la vitesse ou la pression, devienne infinie en un point après un temps fini»: en effet, alors qu'au début 2014 un mathématicien kazakh, Mukhtarbay Otelbaev, a pensé apporter une preuve de l'existence de solutions régulières, un contre-exemple à un résultat intermédiaire de sa démonstration a été fourni.

Dans l'étude ici présentée, Terence Tao «a voulu pour sa part évaluer la robustesse de certains outils que les mathématiciens utilisent pour tenter de résoudre ce problème»: alors qu'une des propriétés des équations de Navier-Stokes est qu'elles conservent l'énergie au fil du temps, jusqu’à présent, les modèles simplifiés étudiés, présentant «des divergences après un temps fini», n’intégraient pas cette propriété de conservation.

Un modèle «apparenté aux équations de Navier-Stokes», assurant la conservation de l’énergie a été ainsi mis en forme par monsieur Tao montrant «que la solution de ce modèle diverge en un temps fini». Il en découle que «la conservation de l’énergie ne suffit pas à garantir la régularité des solutions».

Cependant, comme ces techniques «ne s'appliquent pas exactement aux équations de Navier-Stokes, du moins pour le moment», le problème de la résolution des équations de Navier-Stokes, inclus, en 2000 par l’Institut Clay, dans la liste des sept problèmes du millénaire, reste ouvert...