Une étude, dont les résultats intitulés «Contact and Momentum Distribution of the Unitary Fermi Gas» ont été publiés dans la revue Physical Review Letters et sont disponibles en pdf, a permis de développer une nouvelle approche pour resommer les sommes divergentes qui apparaissent lors de calculs concernant les systèmes de fermions fortement corrélés, tout en contrôlant la précision de ces calculs. La validation de cette approche a été faite «en déterminant le coefficient de 'contact' pour un gaz de Fermi unitaire avec une précision bien meilleure que les calculs habituels».

La difficulté majeure, pour «comprendre de manière fine et précise le comportement des particules qui constitue les noyaux atomiques ou les supraconducteurs à haute température», tient «à la nature de ces systèmes quantiques», composés «de particules élémentaires en interactions et très fortement corrélées les unes aux autres». En outre, «les paramètres physiques sont très difficiles à mesurer ou contrôler, ce qui complexifie à l’extrême les comparaisons entre théorie et expérience».

Pour contourner cet obstacle, «depuis une dizaine d’années», le «banc d’essai des gaz d’atomes refroidis à des températures très proches du zéro absolu, en particulier dans le régime d’interaction maximale appelé 'gaz de Fermi unitaire'» est utilisé. Ce système permet aujourd’hui de mesurer «très précisément diverses grandeurs physiques et, notamment, le 'contact', qui caractérise la probabilité que deux atomes soient très proches», car, jusqu’alors, les calculs existants de cette grandeur s’étalaient «sur une plage de 60 %, chacune des méthodes employées étant affectée par des approximations mal contrôlées».

Pour sa part, l'étude ici présentée a calculé ce 'contact' avec une précision contrôlée de 2 % et un excellent accord avec les données expérimentales», grâce à une méthode de calcul développée auparavant «qui pourrait s’appliquer à bien d’autres systèmes de fermions fortement corrélés».

Rappelons ici que «les protons et neutrons des noyaux atomiques, les électrons des supraconducteurs ou les atomes qui composent les gaz froids 'unitaires' sont des fermions, c’est à dire des particules qui vérifient le 'principe d’exclusion de Pauli'» («Deux fermions identiques ne peuvent pas occuper un même état quantique»). Relevons aussi qu'à «très basse température et en présence d’interaction, ces particules ont tendance à s’associer par paire».

Cependant, si «pour modéliser un supraconducteur classique ou un gaz d’atomes fermioniques en interaction faible, il suffit de considérer les processus ne faisant intervenir que 2 ou 3 particules: formation de paire, séparation de paire, séparation et appariement de l’un des deux fermions avec un troisième», quand «l’interaction devient forte, cela ne suffit pas»: la difficulté est alors d'identifier et de «calculer le plus grand nombre possible de contributions en prenant en compte un nombre de plus en plus grand d’atomes».

Dans cette étude, «les contributions provenant d’environ cent mille processus, mettant en jeu jusqu’à neuf paires», ont été identifiées et calculées. Le problème alors vient de la nécessité «d’additionner toutes ces contributions». Concrètement, «si les interactions entre fermions étaient faibles, il suffirait d’additionner les neuf nombres correspondants aux contributions à 1 paire, 2 paires… 9 paires» pour «obtenir une valeur approchée du résultat exact» et surtout pour «contrôler la précision du résultat comme, par exemple, on peut le faire pour la somme 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + … + 1/256, qui vaut 2/3 à 1/256 près». La difficulté dans le cas du gaz unitaire vient de ce que «en raison des fortes interactions entre fermions, les termes à sommer sont de plus en plus grands: la somme est divergente».

Notons ici que «les mathématiciens savent depuis longtemps donner un sens à une somme divergente telle que 1-2+4-8+… à qui est attribué la valeur1/3 (En effet, la somme S, dans cet exemple, est S= 1-2S, d'où 3S=1). Pour le gaz unitaire, cependant, «les méthodes habituelles ne fonctionnement pas: les termes augmentent plus vite qu’exponentiellement et pour une divergence aussi forte, il n’est pas toujours possible de donner un sens et une valeur unique à la somme».

C'est la raison pour laquelle, une seconde étude, dont les résultats intitulés «Resummation of Diagrammatic Series with Zero Convergence Radius for Strongly Correlated Fermions» ont aussi été publiés dans la revue Physical Review Letters et sont disponibles en pdf, a permis de «montrer, par des méthodes de théorie des champs, que cela est effectivement possible pour ce gaz, en construisant et analysant une fonction cachée derrière la somme». En fait, ce travail a consisté à «trouver une méthode de sommation adaptée», et il a permis «au passage de redécouvrir un théorème de 1919, bien dissimulé dans la volumineuse littérature sur le sujet».

Pour finir soulignons que «comme souvent en physique, certaines étapes du raisonnement sont des conjectures non démontrées mathématiquement, ce qui renforce l’intérêt des confrontations avec les expériences, à commencer par des mesures du contact plus précises actuellement en cours dans plusieurs laboratoires».